Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh:
a) ({{left( {xsqrt y + ysqrt x } right)left( {sqrt x – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = x – y)
với x > 0 và y > 0;
b) ({{sqrt {{x^3}} – 1} over {sqrt x – 1}} = x + sqrt x + 1) với (x ge 0) và (x ne 1).
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
({{left( {xsqrt y + ysqrt x } right)left( {sqrt x – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = {{left( {sqrt {{x^2}y} + sqrt {x{y^2}} } right)left( {sqrt x – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }})
( = {{sqrt {xy} left( {sqrt x + sqrt y } right)left( {sqrt x – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = left( {sqrt x + sqrt y } right)left( {sqrt x – sqrt y } right))
( = {left( {sqrt x } right)^2} – {left( {sqrt y } right)^2} = x – y)
(với x > 0 và y > 0)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Vì x > 0 nên (sqrt {{x^3}} = {left( {sqrt x } right)^3})
Ta có:
({{sqrt {{x^3}} – 1} over {sqrt x – 1}} = {{{{left( {sqrt x } right)}^3} – {1^3}} over {sqrt x – 1}} = {{left( {sqrt x – 1} right)left( {x + sqrt x + 1} right)} over {sqrt x – 1}})
( = x + sqrt x + 1$ với (x ge 0) và (x ne 1).
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
a) Chứng minh:
(x + 2sqrt {2x – 4} = {left( {sqrt 2 + sqrt {x – 2} } right)^2}) với (x ge 2);
b) Rút gọn biểu thức:
(sqrt {x + 2sqrt {2x – 4} } + sqrt {x – 2sqrt {2x – 4} } ) với (x ge 2).
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
(eqalign{& x + 2sqrt {2x – 4} = x + 2sqrt {2left( {x – 2} right)} cr & = 2 + 2sqrt 2 .sqrt {x – 2} + x – 2 cr} )
( = {left( {sqrt 2 } right)^2} + 2.sqrt 2 .sqrt {x – 2} + {left( {sqrt {x – 2} } right)^2})
( = {left( {sqrt 2 + sqrt {x – 2} } right)^2}) (với (x ge 2))
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
(sqrt {x + 2sqrt {2x – 4} } + sqrt {x – 2sqrt {2x – 4} } )
( = sqrt {2 + 2sqrt 2 .sqrt {x – 2} + x – 2} + sqrt {2 – 2sqrt 2 .sqrt {x – 2} + x – 2} )
( = sqrt {{{left( {sqrt 2 + sqrt {x – 2} } right)}^2}} + sqrt {{{left( {sqrt 2 – sqrt x – 2} right)}^2}} )
( = left| {sqrt 2 + sqrt {x – 2} } right| + left| {sqrt 2 – sqrt {x – 2} } right|)
( = sqrt 2 + sqrt {x – 2} + left| {sqrt 2 – sqrt {x – 2} } right|)
– Nếu (sqrt 2 – sqrt {x – 2} ge 0) thì
(eqalign{& sqrt {x – 2} le sqrt 2 Leftrightarrow x – 2 le 2 cr & Leftrightarrow x – 2 le 2 Leftrightarrow x le 4 cr} )
Với (2 le x le 4) thì (left| {sqrt 2 – sqrt {x – 2} } right| = sqrt 2 – sqrt {x – 2} )
Ta có: (sqrt 2 + sqrt {x – 2} + sqrt 2 – sqrt {x – 2} = 2sqrt 2 )
– Nếu (sqrt 2 – sqrt {x – 2} < 0) thì
(sqrt {x – 2} > sqrt 2 Leftrightarrow x – 2 > 2 Leftrightarrow x > 4)
Với x > 4 thì (left| {sqrt 2 – sqrt {x – 2} } right| = sqrt {x – 2} – sqrt 2 )
Ta có: (sqrt 2 + sqrt {x – 2} + sqrt {x – 2} – sqrt 2 = 2sqrt {x – 2} )
Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x, biết:
a) (sqrt {25x} = 35);
b) (sqrt {4x} le 162);
c) (3sqrt x = sqrt {12} );
d) (2sqrt x ge 10).
Gợi ý làm bài
(eqalign{& a),sqrt {25x} = 35 Leftrightarrow 5sqrt x = 35 cr & Leftrightarrow sqrt x = 7 Leftrightarrow x = 49 cr} )
(eqalign{& b),sqrt {4x} le 162 Leftrightarrow 2sqrt x le 162 cr & Leftrightarrow sqrt x le 81 Leftrightarrow x le 6561 cr} )
Suy ra : (0 le x le 6561)
(eqalign{& b),3sqrt x = 12 Leftrightarrow 3sqrt x = 2sqrt 3 cr & Leftrightarrow sqrt x = {2 over 3}sqrt 3 Leftrightarrow x = {left( {{2 over 3}sqrt 3 } right)^2} cr & Leftrightarrow x = – {4 over 3} cr} )
d) (2sqrt x ge sqrt {10} Leftrightarrow sqrt x ge {{sqrt {10} } over 2} Leftrightarrow x = {5 over 2})
Giaibaitap.me
