Hướng dẫn giải Bài §8. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, chương I – Số hữu tỉ. Số thực, sách giáo khoa toán 7 tập một. Nội dung bài giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 7.
Lý thuyết
1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
(frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{{a + c}}{{b + d}} = frac{{a – c}}{{b – d}},,,(b ne d,,va,,b ne – d))
Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau: (frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{f}) ta suy ra:
(frac{a}{b} = frac{c}{d} = frac{e}{f} = frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = frac{{a – c – e}}{{b – d – f}},)(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
2. Chú ý
Khi các dãy tỉ số: (frac{a}{2} = frac{b}{3} = frac{c}{5},) ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết: a : b : c = 2 : 3 : 5.
3. Ví dụ minh họa
Trước khi đi vào giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1, chúng ta hãy tìm hiểu các ví dụ điển hình sau đây:
Ví dụ 1:
Tìm x, y biết:
a. (frac{x}{y} = frac{{17}}{3}) và (x + y = – 60).
b. (frac{x}{{19}} = frac{y}{{21}}) và (2x – y = 34).
c. (frac{{{x^2}}}{9} = frac{{{y^2}}}{{16}}) và ({x^2} + {y^2} = 100).
Bài giải:
a. (frac{x}{y} = frac{{17}}{3}) và (x + y = – 60)
( Rightarrow frac{x}{7} = frac{y}{{13}} = frac{{x + y}}{{7 + 13}} = frac{{ – 60}}{{20}} = – 3).
Do đó:
(begin{array}{l}frac{x}{7} = – 3 Rightarrow x = – 21\frac{y}{{13}} = – 3 Rightarrow y = – 39end{array}).
b. (frac{x}{{19}} = frac{y}{{21}}) và (2x – y = 34)
(frac{x}{{19}} = frac{y}{{21}} Rightarrow frac{{2x}}{{38}} = frac{y}{{21}} = frac{{2x – y}}{{38 – 21}} = frac{{34}}{{17}} = 2).
Do đó: (frac{x}{9} = 2 Rightarrow x = 38).
(frac{y}{{21}} = 2 Rightarrow y = 42).
c. (frac{{{x^2}}}{9} = frac{{{y^2}}}{{16}}) và ({x^2} + {y^2} = 100).
(frac{{{x^2}}}{9} = frac{{{y^2}}}{{16}} = frac{{{x^2} + {y^2}}}{{19 + 6}} = frac{{100}}{{25}} = 4).
Do đó: (frac{{{x^2}}}{9} = 4 Rightarrow {x^2} = 36 Rightarrow x = pm 6).
(frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 Rightarrow {y^2} = 64 Rightarrow y = pm 8).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng nếu (frac{a}{b} = frac{c}{d}) thì:
a. (frac{{5a + 3b}}{{5a – 3b}} = frac{{5c + 3d}}{{5c – 3d}}).
b. (frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} – 8{b^2}}} = frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} – 8{d^2}}}).
Bài giải:
a. Vì (frac{a}{b} = frac{c}{d}) nên (frac{a}{c} = frac{b}{d}).
Mặt khác (frac{a}{c} = frac{b}{d} = frac{{5a}}{{5c}} = frac{{3b}}{{3d}} = frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = frac{{5a – 3d}}{{5c – 3d}}).
Vậy (frac{{5a + 3b}}{{5a – 3b}} = frac{{5a – 3b}}{{5c – 3d}}).
b. Vì (frac{a}{b} = frac{c}{d}) nên (frac{a}{c} = frac{b}{d}).
Vậy (frac{a}{c}.frac{a}{c} = frac{b}{d} = frac{b}{d} = frac{a}{c}.frac{b}{d}) hay (frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = frac{{ab}}{{cd}}).
Mặt khác ta lại có:
(frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = frac{{3ab}}{{3cd}} = frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = frac{{11{a^2} – 8{b^2}}}{{11{c^2} – 8d}})
Do đó ta có: (frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} – 8{b^2}}} = frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} – 8{d^2}}}).
Ví dụ 3:
Cho bốn số khác 0 là ({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}) thoả mãn ({a_2}^2 = {a_1}a{}_{3,}{a_3}^2 = {a_2}{a_4}). Chứng minh: (frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = frac{{{a_1}}}{{{a_4}}})
Bài giải:
Từ giả thiết ta có:
(begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}.{a_3} Rightarrow frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\a_3^2 = {a_2}.{a_4} Rightarrow frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}end{array}).
Nên (frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}).
Suy ra: (frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}).
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}).
Ví dụ 4:
Biết (frac{{bz – cy}}{a} = frac{{cx – az}}{b} = frac{{ay – bx}}{c}). Chứng minh rằng: (frac{x}{a} = frac{y}{b} = frac{z}{c}.)
Bài giải:
Ta có: (frac{{bz – cy}}{a} = frac{{cx – az}}{b} = frac{{ay – bx}}{c} = frac{{abz – acy}}{{{a^2}}} = frac{{bcx – abz}}{{{b^2}}} = frac{{acy – bcx}}{{{c^2}}})
( = frac{{abz – acy + bcx – abz + acy – bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0)
Suy ra:
(frac{{bz – cy}}{a} = 0) nên (bz – cy = 0 Rightarrow bz = cy) hay (frac{b}{y} = frac{c}{z}) (1).
(frac{{cx – {rm{az}}}}{b} = 0) nên (cx – az = 0 Rightarrow cx = az) hay (frac{c}{z} = frac{a}{x}) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: (frac{a}{x} = frac{b}{y} = frac{c}{z}.)
Ví dụ 5:
Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích (15,8{m^3}) từ lúc không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được (1{m^3}) nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi thức hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
Bài giải:
Gọi lượng nước các vòi đã chảy vào hồ là x, y, z mét khối nước. Thời gian mà các vòi chảy vào hồ 3x, 5y, 8z. Vì thời gian chảy của các vòi là như nhau nên ta có:
(3x = 5y = 8z Rightarrow frac{x}{5} = frac{y}{3};,,frac{y}{8} = frac{5}{5} Rightarrow frac{{8x}}{{40}},,frac{{3y}}{{24}} = frac{{3z}}{{15}})
( Rightarrow frac{x}{{40}} = frac{y}{{24}} = frac{z}{{15}} = frac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = frac{{15,8}}{{79}} = 0,2)
Từ đó ta có: (x = 8{m^3};y = 4,8{m^3};z = 3{m^3}).
Chú ý: Ta cũng có thể nói rằng: Trong cùng một thời gian, lượng nước chảy được mỗi vòi tỉ lệ với lượng nước mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian, nghĩa là: (x:y:z = frac{1}{3}:frac{1}{5}:frac{1}{8}) tức là: (frac{x}{{frac{1}{3}}} = frac{y}{{frac{1}{5}}} = frac{z}{{frac{1}{8}}})
Từ đây ta tìm được x, y, z.
Ví dụ 6:
Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?
Bài giải:
Gọi a, b, c là số điểm 10 của ba học sinh A, B, C ta có:
(frac{a}{2} = frac{b}{3} = frac{c}{4} = frac{{a + c – b}}{{2 + 4 – 3}} = frac{6}{3} = 2).
Do đó: (frac{a}{2} = 2 Rightarrow a = 4)
(begin{array}{l}frac{b}{3} = 2 Rightarrow b = 6\frac{c}{4} = 2 Rightarrow c = 8end{array}).
Vậy:
Học sinh A có 4 điểm 10.
Học sinh B có 6 điểm 10.
Học sinh C có 8 điểm 10.
Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 28 sgk Toán 7 tập 1
Cho tỉ lệ thức (dfrac{2}{4} = dfrac{3}{6})
Hãy so sánh các tỉ số (dfrac{{2 + 3}}{{4 + 6}}) và ( dfrac{{2 – 3}}{{4 – 6}}) với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.
Trả lời:
Ta có: (dfrac{2}{4} = dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2})
Lại có:
(eqalign{& {{2 + 3} over {4 + 6}} = {5 over {10}} = {1 over 2} cr & {{2 – 3} over {4 – 6}} = {{ – 1} over { – 2}} = {1 over 2} cr & Rightarrow {2 over 4} = {3 over 6} = {{2 + 3} over {4 + 6}} = {{2 – 3} over {4 – 6}} cr} )
2. Trả lời câu hỏi 2 trang 29 sgk Toán 7 tập 1
Dùng dãy tỉ số bằng nhau để thể hiện câu nói sau: Số học sinh của ba lớp (7A, 7B, 7C) tỉ lệ với các số (8; 9; 10.)
Trả lời:
Gọi số học sinh của ba lớp (7A, 7B, 7C) lần lượt là (x, y, z) (học sinh)
Theo giả thiết có dãy tỉ số sau: (dfrac{x}{8} = dfrac{y}{9} = dfrac{z}{{10}})
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 7 kèm bài giải chi tiết bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1 của bài §8. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau trong chương I – Số hữu tỉ. Số thực cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 54 trang 30 sgk Toán 7 tập 1
Tìm hai số x và y, biết $frac{x}{3}$ = $frac{y}{5}$ và $x + y = 16$
Bài giải:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$frac{x}{3}$ = $frac{y}{5}$ = $frac{x + y}{3 + 5}$ = $frac{16}{8} = 3$
Do đó:
$frac{x}{3} = 2 ⇔ x = 2 . 3 = 6$
$frac{y}{5} = 2 ⇔ y = 2 . 5 = 10$
Vậy $x = 6, y = 10$
2. Giải bài 55 trang 30 sgk Toán 7 tập 1
Tìm hai số x và y, biết $x : 2 = y : (-5)$ và $x – y = -3$
Bài giải:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$frac{x}{2}$ = $frac{y}{-5}$ = $frac{x – y}{2 – (-5)}$ = $frac{-7}{7} = -1$
Do đó:
$frac{x}{2} = -1 ⇔ x = -1 . 2 = -2$
$frac{y}{-5} = -1 ⇔ y = -1 . (-5) = 5$
Vậy $x = -2, y = 5$
3. Giải bài 56 trang 30 sgk Toán 7 tập 1
Tìm diện tích của một hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng 2/5 và chu vi bằng 28m
Bài giải:
Gọi x (m) là chiều rộng, y (m) là chiều dài $( x > 0, y > 0)$
Ta có: $x + y = 28 : 2 = 14$
Mặc khác tỉ số giữa hai cạnh là $frac{2}{5}$ nên suy ra: $frac{x}{y}$ = $frac{2}{5}$ hay $frac{x}{2}$ = $frac{y}{5}$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$frac{x}{2}$ = $frac{y}{5}$ = $frac{x + y}{2 + 5}$ = $frac{14}{7} = 2$
Do đó:
$frac{x}{2} = 2 ⇔ x = 2 . 2 = 4$
$frac{y}{5} = 2 ⇔ y = 2 . 5 = 10$
Chiều rộng hình chữ nhật là $x = 4(m)$
Chiều dài hình chữ nhật là $y = 10(m)$
Nên diện tích hình chữ nhật là: $S = 10 . 4 = 40 (m^2)$
4. Giải bài 57 trang 30 sgk Toán 7 tập 1
Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số $2; 4; 5$. Tính số viên của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả $44$ viên bi
Bài giải:
Gọi $x, y, z$ lần lượt là số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng
Theo đề bài ta có:
$frac{x}{2}$ = $frac{y}{4}$ = $frac{z}{5}$ và $x + y + z = 44$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$frac{x}{2}$ = $frac{y}{4}$ = $frac{z}{5}$ = $frac{x + y + z}{2 + 4 + 5}$ = $frac{44}{11} = 4$
Do đó:
$frac{x}{2} = 4 ⇔ x = 8$
$frac{y}{4} = 4 ⇔ y = 16$
$frac{z}{5} = 4 ⇔ z = 20$
Vậy số viên bi của Minh, Hùng, Dũng theo thứ tự $8, 16, 20$.
5. Giải bài 58 trang 30 sgk Toán 7 tập 1
Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa cây trồng được của lớp 7A và lớp 7B là 0,8 và lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là $20$ cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng?
Bài giải:
Gọi $x, y$ lần lượt là số cây trồng được của lớp $7A, 7B.$
Theo đề bài ta có:
$y – x = 20$ và $frac{x}{y} = 0,8$ = $frac{8}{10}$ = $frac{4}{5}$
⇔ $frac{x}{4}$ = $frac{y}{5}$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$frac{x}{4}$ = $frac{y}{5}$ = $frac{y – x}{5 – 4}$ = $frac{20}{1}$ = 20
Do đó:
$frac{x}{4} = 20 ⇔ x = 20 . 4 = 80$
$frac{y}{5} = 20 ⇔ y = 20 . 5 = 100$
Vậy số cây của lớp 7A là $80$, của lớp 7B là $100$.
Bài trước:
- Luyện tập: Giải bài 49 50 51 52 53 trang 26 27 28 sgk toán 7 tập 1
Bài tiếp theo:
- Luyện tập: Giải bài 59 60 61 62 63 64 trang 31 sgk toán 7 tập 1
Xem thêm:
- Các bài toán 7 khác
- Để học tốt môn Vật lí lớp 7
- Để học tốt môn Sinh học lớp 7
- Để học tốt môn Ngữ văn lớp 7
- Để học tốt môn Lịch sử lớp 7
- Để học tốt môn Địa lí lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7
- Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 7 thí điểm
- Để học tốt môn Tin học lớp 7
- Để học tốt môn GDCD lớp 7
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 7 với giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk toán 7 tập 1!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“
