Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2
Bài 38. Giải các phương trình:
a) ({left( {x{rm{ }}-{rm{ }}3} right)^2} + {rm{ }}{left( {x{rm{ }} + {rm{ }}4} right)^2} = {rm{ }}23{rm{ }}-{rm{ }}3x);
b) ({x^3} + {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}{left( {x{rm{ }}-{rm{ }}3} right)^2} = {rm{ }}left( {x{rm{ }}-{rm{ }}1} right)({x^2}-{rm{ }}2));
c) ({left( {x{rm{ }}-{rm{ }}1} right)^3} + {rm{ }}0,5{x^2} = {rm{ }}x({x^2} + {rm{ }}1,5));
d) (frac{x(x – 7)}{3} – 1) = (frac{x}{2}) – (frac{x-4}{3});
e) (frac{14}{x^{2}-9}) = (1 – frac{1}{3-x});
f) (frac{2x}{x+1}) = (frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)})
Bài giải:
a) ({left( {x{rm{ }}-{rm{ }}3} right)^2} + {rm{ }}{left( {x{rm{ }} + {rm{ }}4} right)^2} = {rm{ }}23{rm{ }}-{rm{ }}3x)
( Leftrightarrow {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}6x{rm{ }} + {rm{ }}9{rm{ }} + {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}8x{rm{ }} + {rm{ }}16{rm{ }} = {rm{ }}23{rm{ }}-{rm{ }}3x)
( Leftrightarrow {rm{ }}2{x^2} + {rm{ }}5x{rm{ }} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0)
(Delta = 25{rm{ – }}16 = 9,{x_1} = – 2,{x_2} = – {1 over 2})
b) ({x^3} + {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}{left( {x{rm{ }}-{rm{ }}3} right)^2} = {rm{ }}left( {x{rm{ }}-{rm{ }}1} right)({x^2}-{rm{ }}2))
(Leftrightarrow {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}{x^2} + {rm{ }}6x{rm{ }}-{rm{ }}9{rm{ }} = {rm{ }}{x^3}-{rm{ }}{x^2}-{rm{ }}2x{rm{ }} + {rm{ }}2)
({rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}2{x^2} + {rm{ }}8x{rm{ }}-{rm{ }}11{rm{ }} = {rm{ }}0)
(Delta’ = 16 + 22 = 38,{x_1} = {rm{ }}{{ – 4 + sqrt {38} } over 2},{x_2} = {{ – 4 – sqrt {38} } over 2})
c) ({left( {x{rm{ }}-{rm{ }}1} right)^3} + {rm{ }}0,5{x^2} = {rm{ }}x({x^2} + {rm{ }}1,5))
( Leftrightarrow {rm{ }}{x^3}-{rm{ }}3{x^2} + {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} + {rm{ }}0,5{x^2} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}1,5x)
(Leftrightarrow {rm{ }}2,5{x^2}-{rm{ }}1,5x{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow {rm{ }}5{x^2}-{rm{ }}3x{rm{ }} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0);
({rm{ }}Delta {rm{ }} = {rm{ }}9{rm{ }}-{rm{ }}40{rm{ }} = {rm{ }} – 31{rm{ }} < {rm{ }}0)
Phương trình vô nghiệm
d) (frac{x(x – 7)}{3}- 1) = (frac{x}{2}) – (frac{x-4}{3})
( Leftrightarrow {rm{ }}2xleft( {x{rm{ }}-{rm{ }}7} right){rm{ }}-{rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}2left( {x{rm{ }}-{rm{ }}4} right))
(Leftrightarrow {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}14x{rm{ }}-{rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}3x{rm{ }}-{rm{ }}2x{rm{ }} + {rm{ }}8)
(Leftrightarrow {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}15x{rm{ }}-{rm{ }}14{rm{ }} = {rm{ }}0;)
(Delta {rm{ }} = {rm{ }}225{rm{ }} + {rm{ }}112{rm{ }} = {rm{ }}337)
({x_1} = {{15 + sqrt {337} } over 4},{x_2} = {rm{ }}{{15 – sqrt {337} } over 4})
e) (frac{14}{x^{2}-9}) = 1 – (frac{1}{3-x}). Điều kiện: (x{rm{ }} ne {rm{ }} pm 3)
Phương trình được viết lại: (frac{14}{x^{2}-9}) = (1 + frac{1}{x- 3})
( Leftrightarrow {rm{ }}14{rm{ }} = {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}9{rm{ }} + {rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}3 )
(Leftrightarrow {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x{rm{ }}-{rm{ }}20{rm{ }} = {rm{ }}0),
({rm{ }}Delta {rm{ }} = {rm{ }}1{rm{ }} + {rm{ }}4{rm{ }}.{rm{ }}20{rm{ }} = {rm{ }}81)
Nên ({x_1} = {{ – 1 – 9} over 2} = – 5;{x_2} = {{ – 1 + 9} over 2} = 4) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm ({x_1} = {rm{ }} – 5,{rm{ }}{x_2} = {rm{ }}4).
f) (frac{2x}{x+1}) = (frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}). Điều kiện: (x ≠ -1, x ≠ 4)
Phương trình tương đương với:
(2xleft( {x{rm{ }}-{rm{ }}4} right){rm{ }} = {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}8)
( Leftrightarrow {rm{ }}2{x^2}-{rm{ }}8x{rm{ }}-{rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x{rm{ }}-{rm{ }}8{rm{ }} = {rm{ }}0)
(Leftrightarrow {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}7x{rm{ }}-{rm{ }}8{rm{ }} = {rm{ }}0)
Có (a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0) nên ({x_1} = – 1,{x_2} = 8)
Vì ({x_1} = – 1)không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là (x = 8).
Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a) ((3{x^{2}} – {rm{ }}7x{rm{ }}-{rm{ }}10)[2{x^2} + {rm{ }}left( {1{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 5 } right)x{rm{ }} + {rm{ }}sqrt 5 {rm{ }}-{rm{ }}3]{rm{ }} = {rm{ }}0);
b) ({x^3} + {rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0);
c) (({x^{2}} – {rm{ }}1)left( {0,6x{rm{ }} + {rm{ }}1} right){rm{ }} = {rm{ }}0,6{x^2} + {rm{ }}x);
d) ({({x^2} + {rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}5)^2} = {rm{ }}{({rm{ }}{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}5)^2}).
Bài giải.
a) ((3{x^{2}} – {rm{ }}7x{rm{ }}-{rm{ }}10)[2{x^2} + {rm{ }}left( {1{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 5 } right)x{rm{ }} + {rm{ }}sqrt 5 {rm{ }}-{rm{ }}3]{rm{ }} = {rm{ }}0)
(Leftrightarrow)(left[ matrix{ (3{x^{2}} – {rm{ }}7x{rm{ }}-{rm{ }}10){rm{ }} = {rm{ }}0(1) hfill cr 2{x^2} + {rm{ }}left( {1{rm{ }} – {rm{ }}sqrt 5 } right)x{rm{ }} + sqrt 5 -{rm{ }}3{rm{ }} = {rm{ }}0(2) hfill cr} right.)
Giải (1): phương trình (a – b + c = 3 + 7 – 10 = 0)
nên ({x_1} = – 1,{x_2} = – {{ – 10} over 3} = {{10} over 3})
Giải (2): phương trình có (a + b + c = 2 + (1 – sqrt{5}) + sqrt{5} – 3 = 0)
nên ({x_3} = 1,{x_4} = {{sqrt 5 – 3} over 2})
b) ({x^3} + {rm{ }}3{x^2}-{rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0) (Leftrightarrow {x^2}left( {x{rm{ }} + {rm{ }}3} right){rm{ }}-{rm{ }}2left( {x{rm{ }} + {rm{ }}3} right){rm{ }} = {rm{ }}0 )
(Leftrightarrow left( {x{rm{ }} + {rm{ }}3} right)({x^2} – {rm{ }}2){rm{ }} = {rm{ }}0)
(Leftrightarrow)(left[ matrix{ x + 3 = 0 hfill cr {x^2} – {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}0 hfill cr} right.)
Giải ra ({x_1} = {rm{ }} – 3,{rm{ }}{x_{2}} = {rm{ }} – sqrt 2 ,{rm{ }}{x_{3}} = sqrt 2 )
c) (({x^{2}} – {rm{ }}1)left( {0,6x{rm{ }} + {rm{ }}1} right){rm{ }} = {rm{ }}0,6{x^2} + {rm{ }}x) ( Leftrightarrow {rm{ }}left( {0,6x{rm{ }} + {rm{ }}1} right)left( {{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }}-{rm{ }}1} right){rm{ }} = {rm{ }}0)
(Leftrightarrow left[ matrix{ 0,6x + 1 = 0(1) hfill cr {x^2}-{rm{ }}x{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0(2) hfill cr} right.)
(1) ⇔ (0,6x + 1 = 0 )
( Leftrightarrow {x_1} = – {1 over {0,6}} = – {5 over 3})
(2):(Delta = {( – 1)^2} – 4.1.( – 1) = 1 + 4 = 5,sqrt Delta = sqrt 5,)
({x_2} = {rm{ }}{{1 – sqrt 5 } over 2},{x_3} = {{1 + sqrt 5 } over 2})
Vậy phương trình có ba nghiệm:
({x_1} = – {5 over 3},{x_2} = {{1 – sqrt 5 } over 2},{x_3} = {{1 + sqrt 5 } over 2}),
d) ({({x^2} + {rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}5)^2} = {rm{ }}{({rm{ }}{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}5)^2})( Leftrightarrow {rm{ }}{({x^2} + {rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}5)^2} – {rm{ }}{({rm{ }}{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}5)^2} = {rm{ }}0)
(Leftrightarrow ({x^2} + {rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}5{rm{ }} + {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}5).)
(({rm{ }}{x^2} + {rm{ }}2x{rm{ }}-{rm{ }}5{rm{ }} – {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x{rm{ }} – {rm{ }}5){rm{ }} = {rm{ }}0)
( Leftrightarrow {rm{ }}(2{x^2} + {rm{ }}x)left( {3x{rm{ }}-{rm{ }}10} right){rm{ }} = {rm{ }}0)
⇔( x(2x + 1)(3x – 10) = 0)
Hoặc (x = 0), (x = -frac{1}{2}) , (x = frac{10}{3})
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
$$ Leftrightarrow {x_1} = – {1 over {0,6}} = – {5 over 3}$$
Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2
Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) (3{({x^2} + {rm{ }}x)^2}-{rm{ }}2({x^2} + {rm{ }}x){rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0);
b) ({({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}2)^2} + {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }}-{rm{ }}4{rm{ }} = {rm{ }}0);
c) (x – sqrt{x} = 5sqrt{x} + 7);
d) (frac{x}{x+ 1} – 10 . frac{x+1}{x}= 3)
Hướng dẫn: a) Đặt (t{rm{ }} = {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x), ta có phương trình (3{t^2}-{rm{ }}2t{rm{ }} – {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của (t). Thay mỗi giá trị của (t) vừa tìm được vào đằng thức (t{rm{ }} = {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x) , ta được một phương trình của ẩn (x). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của (x).
d) Đặt (frac{x+1}{x} = t) hoặc (frac{x}{x+ 1} = t)
Bài giải:
a) (3{({x^2} + {rm{ }}x)^2}-{rm{ }}2({x^2} + {rm{ }}x){rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0). Đặt (t{rm{ }} = {rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x), ta có:
(3{t^2}{rm{ – }}2t{rm{ – }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} = – {1 over 3})
Với ({t_1} = 1), ta có: ({x^2} + {rm{ }}x{rm{ }} = {rm{ }}1{rm{ }}) hay ({rm{ }}{x^2} + {rm{ }}x{rm{ }}-{rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0,Delta {rm{ = }}4{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ = }}5,{rm{ }}sqrt Delta = sqrt 5 )
({x_1} = {{ – 1 + sqrt 5 } over 2},{x_2} = {{ – 1 – sqrt 5 } over 2})
Với ({t_2}= -frac{1}{3}), ta có: ({x^2} + x = – {1 over 3})hay (3{x^2} + 3x{rm{ + }}1{rm{ = }}0):
Phương trình vô nghiệm, vì (Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1} = {{ – 1 + sqrt 5 } over 2},{x_2} = {{ – 1 – sqrt 5 } over 2})
b) ({({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}2)^2} + {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }}-{rm{ }}4{rm{ }} = {rm{ }}0)
Đặt (t{rm{ }} = {rm{ }}{x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}2), ta có phương trình ({t^2} + {rm{ }}t{rm{ }}-{rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0)
Giải ra ta được ({t_1} = {rm{ }}2,{rm{ }}{t_2} = {rm{ }} – 3).
– Với ({t_1}= 2) ta có: ({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }}2) hay ({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} = {rm{ }}0). Suy ra ({x_1} = {rm{ }}0,{rm{ }}{x_2} = {rm{ }}4).
– Với ({t_2}= -3), ta có: ({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}2{rm{ }} = {rm{ }} – 3) hay ({x^2}-{rm{ }}4x{rm{ }} + {rm{ }}5{rm{ }} = {rm{ }}0).
Phương trình này vô nghiệm vì (Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1} = 0, {x_2}= 4).
c) (x – sqrt{x} = 5sqrt{x} + 7). Điều kiện: (x ≥ 0). Đặt (t = sqrt{x}, t ≥ 0)
Ta có:({t^2}-{rm{ }}6t{rm{ }}-{rm{ }}7{rm{ }} = {rm{ }}0). Suy ra: ({t_1}= -1) (loại), ({t_2}= 7)
Với (t = 7), ta có: (sqrt{x} = 7). Suy ra (x = 49).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: (x = 49)
d) (frac{x}{x+ 1}- 10 . frac{x+1}{x} = 3). Điều kiện: (x ≠ -1, x ≠ 0)
Đặt (frac{x}{x+ 1}) = t, ta có: (frac{x+1}{x}) = (frac{1}{t}). Vậy ta có phương trình: (t – frac{10}{t} – 3 = 0)
hay: ({t^2}-{rm{ }}3t{rm{ }}-{rm{ }}10{rm{ }} = {rm{ }}0). Suy ra ({t_1} = 5, {t_2} = -2).
– Với ({t_1}= 5), ta có (frac{x}{x+ 1} = 5) hay (x = 5x + 5). Suy ra (x = -frac{5}{4})
– Với ({t_2} = -2), ta có (frac{x}{x+ 1}= -2) hay (x = -2x – 2). Suy ra (x = -frac{2}{3}).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1}= -frac{5}{4}), ({x_2} =-frac{2}{3})
Giaibaitap.me
