Câu 30 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?
Giải:
a. AD = AE (gt)
⇒ ∆ ADE cân tại A
( Rightarrow widehat {ADE} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2})
∆ ABC cân tại A
( Rightarrow widehat {ABC} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2})
Suy ra: (widehat {ADE} = widehat {ABC})
⇒ DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
Tứ giác BDEC là hình thang
(widehat {ABC} = widehat {ACB}) (tính chất tam giác cân)
Hay (widehat {DBC} = widehat {ECB}). Vậy BDEC là hình thang cân
b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D
( Rightarrow {widehat B_1} = {widehat E_1})
Mà ({widehat E_1} = {widehat B_2}) (so le trong)
( Rightarrow {widehat B_1} = {widehat B_2})
DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E
( Rightarrow {widehat D_1} = {widehat C_1})
({widehat D_1} = {widehat C_2}) (so le trong)
( Rightarrow {widehat C_1} = {widehat C_2})
Vậy khi BE là tia phân giác của (widehat {ABC}), CD là tia phân giác của (widehat {ACB}) thì BD = DE = EC.
Câu 31 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.
Giải:
(eqalign{& widehat {ADC} = widehat {BCD},,,,(gt) cr & Rightarrow widehat {ODC} = widehat {OCD} cr} )
⇒ ∆ OCD cân tại O
⇒ OC = OD
⇒ OA + AD = OB + BC
Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)
⇒ OA = OB
Xét ∆ ADC và ∆ BCD :
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (tính chất hình thang cân)
CD cạnh chung
Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)
( Rightarrow {widehat D_1} = {widehat C_1})
⇒ ∆ EDC cân tại E
⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD
OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.
BD = AC (chứng minh trên)
⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC
⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB
E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.
Câu 32 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.
Chứng minh rằng (a và b có cùng đơn vị đo)
b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm
Giải:
a. Kẻ đường cao BK
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:
(widehat {AHB} = widehat {BKC} = {90^0})
AD = BC (tính chất hình thang cân)
(widehat D = widehat C) (gt)
Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ HD = KC
Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK
a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD
( Rightarrow HD = {{a – b} over 2})
(HD = DC-HD = a – {{a – b} over 2} = {{a + b} over 2})
b. (HD = {{CD – AB} over 2} = {{26 – 10} over 2} = 8left( {cm} right))
Trong tam giác vuông AHD có (widehat {AHD} = {90^0})
(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}) (định lí Pi-ta-go)
(eqalign{& Rightarrow A{H^2} = A{D^2} – H{D^2} cr & A{H^2} = {17^2} – {8^2} = 289 – 64 = 225 cr & AH = 15(cm) cr} )
Câu 33 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.
Giải:
Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)
(widehat {ABD} = widehat {BDC}) (so le trong)
(eqalign{& widehat {ADB} = widehat {BDC}(gt) cr & Rightarrow widehat {ABD} = widehat {ADB} cr} )
⇒ ∆ ABD cân tại A
⇒ AB = AD = 3 (cm)
∆ BDC vuông tại B
( Rightarrow widehat {BDC} + widehat C = {90^0})
(widehat {ADC} = widehat C) (gt)
Mà (widehat {BDC} = {1 over 2}widehat {ADC}) nên (widehat {BDC} = {1 over 2}widehat C)
(widehat C + {1 over 2}widehat C = {90^0} Rightarrow widehat C = {60^0})
Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE
⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)
(widehat {BEC} = widehat {ADC}) (đồng vị )
Suy ra: (widehat {BEC} = widehat C)
⇒ ∆ BEC cân tại B có (widehat C = {60^0})
⇒ ∆ BEC đều
⇒ EC = BC = 3 (cm)
CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm)
Chu vi hình thang ABCD bằng:
AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 (cm)
Giaibaitap.me
