Bài 84, 85, 86, 87 trang 19 SBT Toán 9 tập 1: Với ba số a, b, c không

Rate this post

Câu 85: Cho biểu thức

(P = {{sqrt x + 1} over {sqrt x – 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

a) Rút gọn P với (x ge 0) và (x ne 4.)

b) Tìm x để P = 2.

a) Điều kiện: (x ge 0,x ne 4)

Ta có:

(P = {{sqrt x + 1} over {sqrt x – 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{(sqrt x + 1)(sqrt x + 2)} over {{{(sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2sqrt x (sqrt x – 2)} over {{{(sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{x + 2sqrt x + sqrt x + 2} over {x – 4}} + {{2x – 4sqrt x } over {x – 4}} – {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{x + 3sqrt x + 2 + 2x – 4sqrt x – 2 – 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{3x – 6sqrt x } over {x – 4}} = {{3sqrt x (sqrt x – 2)} over {(sqrt x + 2)(sqrt x – 2)}} = {{3sqrt x } over {sqrt x + 2}})

b) Ta có: P = 2 (eqalign{ & Leftrightarrow {{3sqrt x } over {sqrt x + 2}} = 2 cr & Leftrightarrow 3sqrt x = 2(sqrt x + 2) Leftrightarrow 3sqrt x = 2sqrt x + 4 cr} )

( Leftrightarrow sqrt x = 4 Leftrightarrow x = 16)

Câu 86: Cho biểu thức

(Q = left( {{1 over {sqrt a – 1}} – {1 over {sqrt a }}} right):left( {{{sqrt a + 1} over {sqrt a – 2}} – {{sqrt a + 2} over {sqrt a – 1}}} right))

a) Rút gọn Q với (a > 0,a ne 4) và (a ne 1).

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

a) Ta có:

(Q = left( {{1 over {sqrt a – 1}} – {1 over {sqrt a }}} right):left( {{{sqrt a + 1} over {sqrt a – 2}} – {{sqrt a + 2} over {sqrt a – 1}}} right))

Xem thêm:  Giải bài tập trang 45 SGK toán 4 Bài 1, 2, 3 - Tính chất kết hợp của p

( = {{sqrt a – left( {sqrt a – 1} right)} over {sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}:{{left( {sqrt a + 1} right)left( {sqrt a – 1} right) – left( {sqrt a + 2} right)left( {sqrt a – 2} right)} over {left( {sqrt a – 2} right)left( {sqrt a – 1} right)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} over {left( {sqrt a – 2} right)left( {sqrt a – 1} right)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a – 1} right)}}.{{left( {sqrt a – 2} right)left( {sqrt {a – 1} } right)} over 3})

( = {{sqrt a – 2} over {3sqrt a }}) (với (a > 0,a ne 4) và (a ne 1))

b) Ta có: (a ge 0) nên (sqrt a > 0)

Khi đó: (Q = {{sqrt a – 2} over {3sqrt a }}) dương khi (sqrt a – 2 > 0)

Ta có: (sqrt a – 2 > 0 Leftrightarrow sqrt a > 2 Leftrightarrow a > 4)

Vậy khi a>4 thì Q>0

Câu 87: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức

(a + b + c ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} )

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Vì a, b và c không âm nên và $sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ({left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{ & a + b – 2sqrt {ab} ge 0 Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab} cr & Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ,,(1) cr} )

({left( {sqrt b – sqrt c } right)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{ & b + c – 2sqrt {bc} ge 0 Leftrightarrow b + c ge 2sqrt {bc} cr & Leftrightarrow {{b + c} over 2} ge sqrt {bc} ,,(2) cr} )

({left( {sqrt c – sqrt a } right)^2} ge 0) suy ra:

Xem thêm:  Giải vở bài tập Toán lớp 5 tập 2 trang 83 đầy đủ nhất - Tailieu.com

(eqalign{ & c + a – 2sqrt {ca} ge 0 Leftrightarrow c + a ge 2sqrt {ca} cr & Leftrightarrow {{c + a} over 2} ge sqrt {ca} ,,(3) cr} )

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

({{a + b} over 2} + {{b + c} over 2} + {{c + a} over 2} ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} )

( Leftrightarrow a + b + c ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} )

– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

(a + b + c + d ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {cd} + sqrt {da} )

– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

(a + b + c + d + e ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {cd} + sqrt {de} + sqrt {ea} )