Giải bài 80, 81, 82, 83 trang 119, 120 Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 80 trang 119 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Hãy tính sinα và tgα, nếu:

a) (cos alpha = {5 over {13}});

b) (cos alpha = {{15} over {17}});

c) (cos alpha = 0,6.)

Gợi ý làm bài

a) (cos alpha = {5 over {13}})

* Ta có:

({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1)

Suy ra:

(eqalign{& {sin ^2}alpha = 1 – {cos ^2}alpha = 1 – {left( {{5 over {13}}} right)^2} cr & = 1 – {{25} over {169}} = {{144} over {169}} cr} )

Vì (sin alpha > 0) nên (sin alpha = sqrt {{{144} over {169}}} = {{12} over {13}})

* (tgalpha = {{sin alpha } over {cos alpha }} = {{{{12} over {13}}} over {{5 over {13}}}} = {{12} over {13}}.{{13} over 5} = {{12} over 5})

b) (cos alpha = {{15} over {17}})

* Ta có: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1)

Suy ra:

(eqalign{& {sin ^2}alpha = 1 – {cos ^2}alpha = 1 – {left( {{{15} over {17}}} right)^2} cr & = 1 – {{225} over {289}} = {{64} over {289}} cr} )

Vì (sin alpha > 0) nên (sin alpha = sqrt {{{64} over {289}}} = {8 over {17}})

* (tgalpha {{sin alpha } over {cos alpha }} = {{{8 over {17}}} over {{{15} over {17}}}} = {8 over {17}}.{{17} over {15}} = {8 over {15}})

c) (cos alpha = 0,6)

* Ta có: ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1.)

Suy ra: ({sin ^2}alpha = 1 – {cos ^2}alpha )

( = 1 – {(0,6)^2} = 1 – 0,36 = 0,64)

Vì (sin alpha > 0) nên (sin alpha = sqrt {0,64} = 0,8)

* (tgalpha = {{sin alpha } over {cos alpha }} = {{0,8} over {0,6}} = {8 over 6} = {4 over 3})

Câu 81 trang 119 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Hãy đơn giản các biểu thức:

a) (1 – {sin ^2}alpha );

b) ((1 – cos alpha )(1 + cos alpha ));

c) (1 + {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha );

d) (sin alpha – sin alpha .{cos ^2}alpha );

e) ({sin ^4}alpha + {cos ^4}alpha + 2.{sin ^2}alpha .{cos ^2}alpha );

g) (t{g^2}alpha – {sin ^2}alpha .t{g^2}alpha );

h) ({cos ^2}alpha + t{g^2}alpha .c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha );

i) (t{g^2}alpha (2.{cos ^2}alpha + {sin ^2}alpha – 1).)

Gợi ý làm bài

a) (1 – {sin ^2}alpha = ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha ) – {sin ^2}alpha )

( = {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha – {sin ^2}alpha = {cos ^2}alpha )

(eqalign{& b),(1 – cos alpha )(1 + cos alpha ) = 1 – {cos ^2}alpha cr & = ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha ) – {cos ^2}alpha cr} )

( = {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha – {cos ^2}alpha = {sin ^2}alpha )

(eqalign{& c),1 + {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha cr & = 1 + ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha ) = 1 + 1 = 2 cr} )

d) (sin alpha – sin alpha .{cos ^2}alpha = sin alpha (1 – {cos ^2}alpha ))

( = sin alpha left[ {left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right) – {{cos }^2}alpha } right])

( = sin alpha ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha – {cos ^2}alpha ))

( = sin alpha .{sin ^2}alpha = {sin ^3}alpha )

(eqalign{& e),{sin ^4}alpha + {cos ^4}alpha + 2.{sin ^2}alpha .{cos ^2}alpha cr & = {({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha )^2} = {1^2} = 1 cr} )

g) (t{g^2}alpha – {sin ^2}alpha .t{g^2}alpha )( = t{g^2}alpha (1 – {sin ^2}alpha ))

( = t{g^2}left[ {left( {{{sin }^2}alpha + {{cos }^2}alpha } right) – {{sin }^2}alpha } right])

( = t{g^2}alpha .{cos ^2}alpha = {{{{sin }^2}alpha } over {{{cos }^2}alpha }}.{cos ^2}alpha = {sin ^2}alpha )

(eqalign{& h),{cos ^2}alpha + t{g^2}alpha .c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha cr & = c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha + {{{{sin }^2}alpha } over {c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha }}.c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha cr & = c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha + {sin ^2}alpha = 1 cr} )

(eqalign{& i),t{g^2}alpha (2.{cos ^2}alpha + {sin ^2}alpha – 1) cr & = t{g^2}alpha .left[ {{{cos }^2}alpha + left( {{{cos }^2}alpha + {{sin }^2}alpha } right) – 1} right] cr} )

( = t{g^2}alpha .({cos ^2}alpha + 1 – 1) = t{g^2}alpha .{cos ^2}alpha )

( = {{{{sin }^2}alpha } over {{{cos }^2}alpha }}.{cos ^2}alpha = {sin ^2}alpha )

Câu 82 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6,7,9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó.

Gợi ý làm bài

Gọi độ dài đường cao là c, hình chiếu cả hai cạnh 6 và 7 trên cạnh có độ dài bằng 9 lần lượt là a và b.

Ta có: a < b (6 < 7)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

({c^2} = {6^2} – a)

({c^2} = {7^2} – {b^2})

Suy ra: (36 – {a^2} = 49 – {b^2})

( Leftrightarrow {b^2} – {a^2} = 49 – 36)

( Leftrightarrow (b + a)(b – a) = 13,(*))

Mà x +y = 9 nên:

(eqalign{& 9.(b – a) = 13 Leftrightarrow b – a = {{13} over 9} cr & Rightarrow b = a + {{13} over 9} cr} )

Thay vào (*), ta có:

(left[ {left( {a + {{13} over 9}} right) + a} right].{{13} over 9} = 13 Leftrightarrow 2a + {{13} over 9} = {{13} over {{{13} over 9}}})

(eqalign{& Leftrightarrow 2a + {{13} over 9} = 13.{9 over {13}} Leftrightarrow 2a + {{13} over 9} = 9 cr & Leftrightarrow a = {{9 – {{13} over 9}} over 2} = {{34} over 9} cr} )

Suy ra: (b = 9 – a = 9 – {{34} over 9} = {{47} over 9})

(c = sqrt {49 – {{left( {{{47} over 9}} right)}^2}} approx 4,7)

Câu 83 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.

Gợi ý làm bài

Giả sử ∆ABC cân tại A có (AH bot BC,AH = 5,BK bot AC,BK = 6.)

Ta có: (HB = HC = {1 over 2}BC) (tính chất tam giác cân)

(eqalign{& {S_{ABC}} = {1 over 2}AH.BC = {1 over 2}BK.AC cr & = {1 over 2}.5.BC = {1 over 2}.6.AC cr} )

Suy ra: (5BC = 6AC Rightarrow BC = {6 over 5}AC,(1))

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH, ta có:

(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {5^2} + {left( {{{BC} over 2}} right)^2} = 25 + {{B{C^2}} over 4},(2))

Từ (1) và (2) suy ra:

(A{C^2} = 25 + {{{{36A{C^2}} over {25}}} over 4} = {{2500} over {100}} + {{36A{C^2}} over {100}})

Suy ra:

(100A{C^2} = 2500 + 36A{C^2})

( Leftrightarrow 64A{C^2} = 2500 Leftrightarrow 8AC = 50 Rightarrow AC = 6,25)

Vậy (BC = {6 over 5}.6,25 = 7,5.)

Giaibaitap.me